المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما
المتطابقات المثلثية ، هى عبارة عن مجموعة من المتطابقات المثلثية المتكونة من متساويات من الدوال المثلثية و التى تدخل فى العديد من الفروع الأخرى من علم الرياضيات ، وللمتطابقات المثلثية دور كبير فى اللوغاريتمات وفى علم التفاضل و التكامل والمتسلسلات النهائية وأيضا فى الأعداد المركبة ، كما للمتطابقات المثلثية أيضا دور كبير فى تبسيط و التحويل بين الدوال المثلثية
ومن الجدير بالذكر أن المتطابقات المثلثية تختص بدراسة الشكل الهندسي للمثلث الذى يتكون من ثلاثة أضلاع و ثلاثة زوايا قياس مجموعهم تصل إلى 180 درجة وتصل طول أى ضلعين منه أكبر من طول الضلع الثالث .
تعريف المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما
لأى زاويتين aB مقيستين بالدرجة أو بالراديان فإن : جاجا جتاجا جتاجتاجتاجتاجاجاظاظاظاظاظا (a ±B) ≡ (a) ± (B) (a) ≡(a±B) ، Ba±aB، aB±(B)، (a±B)≡a±B1
وعلى سبيل المثال انظر إلى المقدار جتا 021 ° بكتابة الزاوية 021° على الصورة 09+03°° أو أى زاوية مماثلة يمكن استخدام متطابقة مجموع زاويتين لجيب التمام و القيم المثلثلية الدقيقة لحساب قيمة المقدار
وفيما يلى عرض جدول القيم المثلثية الدقيقة لإيجاد قيمة المتطابقات المثلثية بسهولة وهذا الجدول لأاي زاوية 0 مقيسة بالدرجة :
0 | 0° | 03° | 54° | 06° | 09° |
جا0 | 0 | 12 | 22 | 32 | 1 |
جتا0 | 1 | 32 | 22 | 12 | 0 |
ومن ثم فإن جتا 021 = 0ْ32-1ْ12=-12°
قد يفيدك أن تقرأ عن
كيفية تطبيق المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين لحل المسائل الأكثر تعقيد
مثال 1
يمر تيار كهربائي متردد في إحدى الدوائر الكهربائية ، و تعطى شدة هذا التيار C بالأمبير بعد T ثانية بالصيغة : C= 3sin 165t، حيث قياس الزاوية بالدرجات
المطلوب :
1- أعد كتابة الصيغة بإستعمال مجموع زاويتين من الزوايا الخاصة
2- استعمل المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما لإيجاد القيمة الدقيقة لشدة التيار بعد ثانية واحدة
الإجابة
إجابة المطلوب الأول كتابة الصيغة بإستعمال مجموع زاويتين من الزوايا الخاصة
c= 3sin 165t الصيغة الأصلية
120°t+4s°t=165°t
=3sin(120°t+45°)
إجابة المطلوب الثانى :
3sin(120°+45°t)
=3sin(120°+45°) حيث t=1
=3⌈sin120°cos45°+cos120°sin45°⌉ متطابقة المجموع
مثال 2
أثبت صحة كلا من المتطابقتين الأتيين :
1- cos(90-0)= sin0
cos=(90-0) الطرف الأيسر
=cos90°cos0+sin 0 متطابقة الفرق
=0.cosθ +1 . sinθ عوض
= sin θ بسط = الطرف الأيمن
2- sin (0+ n/2) =cos 0
=sin(0+n/2) الطرف الأيسر
=sin θ cos n/2 + cosθ sin n/ 2 متطابقة المجموع
= sin θ.0 + cosθ.1 عوض
= cos θ = الطرف الأيمن
النقاط الواجب مراعاتها عند تطبيق المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما
- من الممكن استخدام متطابقات مجموع زاويتين أو الفرق بينهما لتبسيط المقادير التى تتضمن مجموع زاويتين أو الفرق بينهما و أيضا حساب قيم المقادير المثلثية
- من الممكن استنتاج المتطابقات بإستخدام دائرة الوحدة و حساب المثلثات القائمة الزاوبة
- لأى زاويتين a، B فإن :جاجاجتاجاجتاجتاجتاجاجاظاظاظاظاظا(a±B)≡ Ba±aB، a±B1≡(a±B)≡AB±)(a±B)